Демоверсия (задание 14) ЕГЭ-2017 Математика

1 - 5       6 - 8       9 - 12       13     14     15     16     17     18     19

14. Все рёбра правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 имеют длину 6. Точки M и N - середины рёбер AA1 и A1C1 соответственно.
а) Докажите, что прямые BM и MN перпендикулярны.
б) Найдите угол между плоскостями BMN и ABB1.

Решение: а) Пусть точка H - середина AC.

Тогда 

Вместе с тем,

а тогда по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник BMN является прямоугольным с прямым углом M

б) Проведём перпендикуляр NP  к прямой A1B1. Тогда . Следовательно,. Поэтому MP - проекция MN на плоскость ABB1.

Прямая BM перпендикулярна MN, тогда по теореме о трёх перпендикулярах . Следовательно, угол NMP - линейный угол искомого угла между плоскостями BMN и ABB1.

Длина NP равна половине высоты треугольника A1B1C1, то есть . Поэтому 

Следовательно, 

Ответ: 

1 - 5       6 - 8       9 - 12       13     14     15     16     17     18     19