Задания 7. Производная и первообразная

1-10   11-20   21-30   31-40   41-50   51-60   61-70

1. На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.

Решение: Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Построим прямоугольный треугольник с вершинами в точках A(-5; 1), B(3; 7), C(3; 1). Угол наклона касательной к оси абсцисс равен углу BAC: 

Ответ: 0,75

2. На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.

Решение: Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Построим прямоугольный треугольник с вершинами в точках A(-4; -3), B(4; -1), C(4; -3). Угол наклона касательной к оси абсцисс равен углу BAC: 

Ответ: 0,25

3. На рисунке изображены график функции y = f(x), определённой на интервале (-5; 9). Найдите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0.

Решение: Производная равна 0 в точках экстремума (в точках минимума и максимума). Таких точек на графике ровно 6 (отмечены красной точкой). 

Ответ: 6

4. На рисунке изображён график функции y = f(x). Найдите точку, в которой функция f(x) принимает наибольшее значение на отрезке [-4; 3]. 

Решение: по рисунку определяем, что наибольшее значение функция y = f(x) на отрезке [-4; 3] принимает в точке x = 3.

Ответ: 3

5. На рисунке изображён график некоторой функции y = f(x). Одна из первообразных этой функции  равна . Найдите площадь заштрихованной фигуры.

Решение: Площадь заштрихованной фигуры равна разности значений первообразных в точках 2 и -1: 

Ответ: 6

6. На рисунке изображены график дифференцируемой функции y = f(x) и  отмечены семь точек на оси абсцисс: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7. В скольких из этих точек производная функции f(x) положительна?

Решение: Производная функции в точке положительна, если эта точка принадлежит промежутку возрастания. Таких точек на графике ровно 3 (отмечены красной точкой). 

Ответ: 3

7. На рисунке изображён график функции y = f'(x) - производной функции f(x), определённой на интервале (-3; 8). Найдите точку минимума функции f(x)

Решение: Точки минимума функции соответствуют точкам смены знака производной с минуса на плюс.

На интервале (-3; 8) функция имеет одну точку минимума x = 4.

Ответ: 4

8. На рисунке изображен график y = F(x) одной из первообразных некоторой функции f(x), определённой на интервале (-8; 7). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f(x) = 0 на отрезке [-5; 5].

Решение: по определению первообразной F'(x) = f(x)

Следовательно, решениями уравнения f(x) = 0 являются точки экстремумов (точки минимумов и максимумов) изображённой на рисунке функции F(x). Это точки: -7; -4; -2; 1; 4. Из них на отрезке [-5; 5] лежат 4 точки. Таким образом, на отрезке [-5; 5] уравнение f(x) = 0 имеет 4 решения.

Ответ: 4

9. На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.

Решение: Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Построим прямоугольный треугольник с вершинами в точках A(-7; 1), B(5; 4), C(5; 1). Угол наклона касательной к оси абсцисс равен углу BAC: 

Ответ: 0,25

10. На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.

Решение: Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Построим прямоугольный треугольник с вершинами в точках A(-4; 1), B(4; 3), C(4; 1). Угол наклона касательной к оси абсцисс равен углу BAC: 

Ответ: 0,25

1-10   11-20   21-30   31-40   41-50   51-60   61-70