Задания 3. Планиметрия: вычисление длин и площадей

1-10   11-20   21-30   31-40   41-50   51-60   61-70   71-80   81-90   91-100

1. Периметр параллелограмма равен 50. Меньшая сторона равна 12. Найдите большую сторону параллелограмма. 

Решение

Периметр параллелограмма равен сумме длин его сторон. Длины противоположных сторон параллелограмма равны, следовательно, сумма длин двух меньших его сторон равна:
12 + 12 = 24,
а сумма больших равна:
50 – 24 = 26.
Поэтому длина большей стороны параллелограмма равна:
26 : 2 = 13.

Ответ: 13

2. DE - средняя линия треугольника ABC, параллельная стороне AB. Периметр треугольника CDE равен 6. Найдите периметр треугольника ABC.

Решение: 

Так как DE - средняя линия треугольника ABC, то AD = DC и CE = EB, DE = AB / 2.

Периметр треугольника СDE равен CD + DE + CE = 6.
Периметр треугольника ABC равен:
P(ABC) = AB + AC + BC = 2·DE+2·CD+2·CE = 2·(DE + CD + CE) = 2 · 6 = 12.

Ответ: 12

3. Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке.

Решение: Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту
                   

Поэтому 
                 

Ответ: 15

4. Периметр треугольника ABC равен 10. Найдите периметр треугольника FDE, вершинами которого являются середины сторон треугольника ABC.

Решение: Стороны треугольника FDE являются средними линиями треугольника  ABC, поэтому длины сторон треугольника FDE в два раза меньше длин сторон треугольника ABC. Следовательно, периметр треугольника FDE в два раза меньше периметра треугольника ABC, поэтому он равен 10 : 2 = 5

Ответ: 5

5. Найдите площадь четырёхугольника ABCD. Размер каждой клетки 1 см × 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение: Чтобы найти площадь четырёхугольника ABCD, дополним рисунок:
                   

Тогда: S(ABSD) = S(AEGD) - S(AEB) - S(BFC) - S(FGHC) - S(CHD)  

                 

S(ABCD) = 12 - 1,5 - 1 - 1 - 1 = 7,5

Ответ: 7,5

6. Площадь параллелограмма ABCD равна 3. Точка H - середина стороны AD. Найдите площадь трапеции AHCB.

Решение: Проведём дополнительно два отрезка: 1) HK параллельно AB, который разделит наш параллелограмм на две равные части, и
2) диагональ AK в параллелограмме ABKH, который разделит параллелограмм ABKH на два равные треугольники ABK и AHK.

Видим, что площадь параллелограмма ABCD состоит из 4-х равных треугольников, из которых три составляют площадь трапеции AHCB, которую, мы и должны найти. Тогда: 

Ответ: 2,25

7. Площадь параллелограмма ABCD равна 92. Точка F - середина стороны BC. Найдите площадь трапеции ADFB.

Решение: Проведём дополнительно два отрезка: 1) FK параллельно AB, который разделит наш параллелограмм на две равные части, и
2) диагональ BK в параллелограмме ABFK, который разделит параллелограмм ABFK на два равные треугольники ABK и FKB.

Видим, что площадь параллелограмма ABCD состоит из 4-х равных треугольников, из которых три составляют площадь трапеции ADFB, которую, мы и должны найти. Тогда: 

Ответ: 69

8. Найдите площадь треугольника ABC. Размер каждой клетки 1 см × 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение: Чтобы найти площадь треугольника ABC, проведём высоту BH:
                   

 

Ответ: 8

9. Найдите площадь квадрата ABCD. Размер каждой клетки 1 см × 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение: Чтобы найти площадь квадрата ABCD, дополним рисунок до квадрата с красными сторонами:
                   

Тогда, площадь нашего квадрата ABCD будет равен разности площади квадрата с красными сторонами и четырёх равных прямоугольных треугольников, гипотенузы которых являются сторонами исходного квадрата. Поэтому

 

Ответ: 5

10. Найдите площадь параллелограмма ABCD.

Решение: Чтобы найти площадь параллелограмма ABCD, достроим параллелограмм до прямоугольника AMCN:
                   

Тогда, площадь параллелограмма ABCD будет равен разности площади прямоугольника AMCN и площадей двух равных прямоугольных треугольников 

 

Ответ: 8

1-10   11-20   21-30   31-40   41-50   51-60   61-70   71-80   81-90   91-100