Вариант 7 (задания 13 - 15) ЕГЭ-2017 Математика

1 - 8       9 - 12       13 - 15     16     17     18     19

13. а) Решите уравнение .

       б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку .

Решение: а) Решим уравнение:

14. В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S, все рёбра которой равны 2, точка M - середина ребра AB, точка O - центр основания пирамиды, точка F  - делит отрезок SO в отношении 3 : 1, считая от вершины пирамиды.
а) Докажите, что прямая MF перпендикулярна прямой SC.
б) Найдите угол между плоскостью MBF и плоскостью ABC.

Решение: а) Точка O принадлежит отрезку CM, значит точка F, лежащая на отрезке SO, находится в плоскости SCM. Поэтому прямая FM лежит в плоскости SCM и пересекает SC в точке K

Треугольник SMC равнобедренный, так как отрезки SM и CM - медианы одинаковых равносторонних треугольников SAB  и CAB. Поэтому SM = CM. В точке O пересекаются медианы основания, тогда, .

Опустим перпендикуляр из точки F на сторону SM. Пусть он пересекает SM в точке N. Треугольники SFN и SMO подобны, поэтому .

Значит, . Следовательно треугольники MFO и MFN равны и FM - биссектриса угла SMC. В равнобедренном треугольнике биссектриса является и медианой, и высотой. Значит, . Так как точка F лежит на прямой MK, тогда и прямая MF перпендикулярна прямой SC.

б) Построим угол между плоскостями MBF  и плоскостью ABC. Искомым углом будет .

Действительно, углом между плоскостями называется угол между перпендикулярами в этих плоскостях к общей прямой пресечения AB. OM является частью высоты CM, поэтому. OM - проекция FM на плоскость ABC, тогда по теореме о трёх перпендикулярах . Таким образом, FM и OM являются перпендикулярами в плоскостях MBF и ABC к общей стороне AB, значит - искомый.

Найдём высоту CM в треугольнике ABC:

Высоту SO найдём из треугольника COS

Так как, по условию SF : FO = 3 : 1, то

Из треугольника FOM найдём угол OMF

Ответ:

15. Решите неравенство .

Решение: