Задания 6. Планиметрия: задачи, связанные с углами

1-10   11-20   21-30   31-40   41-50   51-60   61-70   71-80   81-90   91-100

1. Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, равную  окружности. Ответ дайте в градусах.

Решение: Величина вписанного угла равна половина центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Ответ: 36

2. В прямоугольном треугольнике высота, проведённая к гипотенузе, делит прямой угол на два угла, один из которых равен 56º. Найдите меньший угол данного треугольника. Ответ дайте в градусах. 

Решение: 

Меньший угол в треугольнике ABC будет 34º.

Ответ: 34

3. В треугольнике ABC угол C равен 90º,  . Найдите .

Решение: 

Ответ: 0,8

4. Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK = 7, CK = 8.

Решение: 

Периметр параллелограмма вычисляем по формуле: PABCD = 2 · (AB +BC).
BC = BK +KC =7 + 8 = 15.
Найдём AB:   - как накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и BC, и секущей AK. Так как, AK - биссектриса угла A, то  . Тогда, получаем что треугольник ABK - равнобедренный, и AB = BK = 7. 

PABCD = 2 · ( 7 + 15 ) = 2 · 22 = 44

Ответ: 44

5. В остроугольном треугольнике ABC угол A равен 78º, BD и CE - высоты, пересекающиеся в точке O. Найдите угол DOE. Ответ дайте в градусах.

Решение: Сумма углов выпуклого четырёхугольника ADOE равна 360º.
Угол А равен 78º (по условию), углы ADO и AEO равны 90º, т.к. BD и CE высоты,
тогда угол DOE = 360 - (78+90+90) = 360 - 258 = 102º

Ответ: 102

6. В остроугольном треугольнике ABC угол A равен 72º, BD и CE - высоты, пересекающиеся в точке O. Найдите угол DOE. Ответ дайте в градусах.

Решение: Сумма углов выпуклого четырёхугольника ADOE равна 360º.
Угол А равен 72º (по условию), углы ADO и AEO равны 90º, т.к. BD и CE высоты,
тогда угол DOE = 360 - (72+90+90) = 360 - 252 = 108º

Ответ: 108

7. В прямоугольном треугольнике угол между высотой и медианой, проведёнными из вершины прямого угла, равен 28º. Найдите больший из острых углов этого треугольника. Ответ дайте в градусах.

Решение: 

Так как, медиана прямоугольного треугольника, опущенная из вершины прямого угла, равна половине его гипотенузы, то AM = MC. И треугольник AMC - равнобедренный. Поэтому:

Сравнивая углы MAC и ABC, видим больший из них угол ABC равный 59º.

Ответ: 59

8. В прямоугольном треугольнике угол между высотой и медианой, проведёнными из вершины прямого угла, равен 26º. Найдите больший из острых углов этого треугольника. Ответ дайте в градусах.

Решение: 

Так как, медиана прямоугольного треугольника, опущенная из вершины прямого угла, равна половине его гипотенузы, то AM = MC. И треугольник AMC - равнобедренный. Поэтому:

Сравнивая углы MAC и ABC, видим больший из них угол ABC равный 58º.

Ответ: 58

9. В прямоугольном треугольнике угол между высотой и медианой, проведёнными из вершины прямого угла, равен 32º. Найдите больший из острых углов этого треугольника. Ответ дайте в градусах.

Решение: 

Так как, медиана прямоугольного треугольника, опущенная из вершины прямого угла, равна половине его гипотенузы, то AM = MC. И треугольник AMC - равнобедренный. Поэтому:

Сравнивая углы MAC и ABC, видим больший из них угол ABC равный 61º.

Ответ: 61

10. В треугольнике ABC угол A равен 56º, углы B и C - острые, высоты BD и CE пересекаются в точке O. Найдите угол DOE. Ответ дайте в градусах.

Решение: В выпуклом четырёхугольнике ADOE сумма углов равна 360º. Тогда

Ответ: 124

1-10   11-20   21-30   31-40   41-50   51-60   61-70   71-80   81-90   91-100