Задания 8. Стереометрия

1-10   11-20   21-30   31-40   41-50

1. Найдите объём многогранника, изображённого на рисунке (все двугранные углы прямые).

Решение: Объём данного многогранника равен сумме объёмов двух параллелепипедов со сторонами 5, 2, 1 и 2, 2, 2.
Напомним, что объём параллелепипеда находится по формуле: V = abc.
Тогда, V = V1 + V2 = 5·2·1 + 2·2·2 = 10 + 8 =18

Ответ: 18

2. Найдите объём многогранника, изображённого на рисунке (все двугранные углы прямые).

Решение: Объём данного многогранника равен сумме объёмов двух параллелепипедов со сторонами 4, 2, 2 и 1, 2, 1.
Напомним, что объём параллелепипеда находится по формуле: V = abc.
Тогда, V = V1 + V2 = 4·2·2 + 1·2·1 = 16 + 2 =18

Ответ: 18

3. В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC точка M - середина ребра BC, S - вершина. Известно, что AB = 6, а площадь боковой поверхности равна 45. Найдите длину отрезка SM

Решение: так как пирамида правильная, то в основании лежит равносторонний треугольник ABC, т.е. AB = BC = AC = 6.

По свойству правильной пирамиды: боковые грани правильной пирамиды - равные друг другу равнобедренные треугольники. А площадь боковой поверхности равна сумме площадей этих треугольников, которые равны между собой. Поэтому площадь треугольника SBC равна 45 : 3 = 15.

По другому свойству правильной пирамиды: боковые ребра правильной пирамиды - равны, т.е. SA = SB = SC.

Тогда заметим, что в этом равнобедренном треугольнике SBC есть медиана SM, которая ещё и является высотой, поэтому площадь треугольника SBC равна:

Ответ: 5

4. Диагональ правильной четырёхугольной призмы наклонена к плоскости основания под углом 30º. Боковое ребро равно 3. Найдите диагональ призмы.

Решение: из прямоугольного треугольника ACC1 найдём диагональ призмы AC1. По условию угол CAC1 = 30º, CC1 = 3. 

Воспользуемся правилом: катет, противолежащий углу в 30º, равен половине гипотенузы, то есть: AC1 = 2 · CC1 = 2 · 3 = 6

Ответ: 6

5. Найдите объём многогранника, изображённого на рисунке (все двугранные углы прямые).

Решение: Объём данного многогранника равен сумме объёмов двух параллелепипедов со сторонами 4, 3, 2 и 2, 3, 3.
Напомним, что объём параллелепипеда находится по формуле: V = abc.
Тогда, V = V1 + V2 = 4·3·2 + 2·3·3 = 24 + 18 =42

Ответ: 42

6. В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC точка P - середина ребра AB, S - вершина. Известно, что BC = 4, а площадь боковой поверхности равна 24. Найдите длину отрезка SP

Решение: так как пирамида правильная, то в основании лежит равносторонний треугольник ABC, т.е. AB = BC = AC = 4.

По свойству правильной пирамиды: боковые грани правильной пирамиды - равные друг другу равнобедренные треугольники. А площадь боковой поверхности равна сумме площадей этих треугольников, которые равны между собой. Поэтому площадь треугольника SAB равна 24 : 3 = 8.

По другому свойству правильной пирамиды: боковые ребра правильной пирамиды - равны, т.е. SA = SB = SC.

Тогда заметим, что в этом равнобедренном треугольнике SAB есть медиана SP, которая ещё и является высотой, поэтому площадь треугольника SAB равна:

Ответ: 4

7. Шар, объём которого равен , вписан в куб. Найдите объём куба.

Решение: Ребро куба равно двум радиусам вписанного в куб шара. Поэтому объём куба выраженный через радиус вписанного в него шара будет: 

Объём шара вычисляется по формуле: 

Отсюда выразим

 

И вычислим объём куба: 

Ответ: 126

8. Шар, объём которого равен , вписан в куб. Найдите объём куба.

Решение: Ребро куба равно двум радиусам вписанного в куб шара. Поэтому объём куба выраженный через радиус вписанного в него шара будет: 

Объём шара вычисляется по формуле: 

Отсюда выразим

 

И вычислим объём куба: 

Ответ: 6

9. Диаметр основания конуса равен 14, а длина образующей - 25. Найдите площадь осевого сечения этого конуса. 

Решение: Осевым сечением конуса является равнобедренный треугольник, основание которого - диаметр D основания конуса, а высота h совпадает с высотой конуса. По условию образующая конуса = 25, радиус основания = D / 2 = 14 / 2 = 7. Тогда: 

Ответ: 168

10. Найдите объём многогранника, изображённого на рисунке (все двугранные углы прямые).

Решение: Объём данного многогранника равен разности объёмов параллелепипедов с рёбрами 5, 4, 5 и 2, 1, 2.
Напомним, что объём параллелепипеда находится по формуле: V = abc.
Тогда, V = V1 - V2 = 5·4·5 - 2·1·2 = 100 - 4 =96

Ответ: 96

1-10   11-20   21-30   31-40   41-50