Вариант 5 (задание 13 - 15) ЕГЭ-2017 Математика

1 - 5       9 - 12       13 -15     16     17     18     19

13. а) Решите уравнение .

       б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

Решение: 

14. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все рёбра равны 1.

а) Докажите, что прямая AB1 параллельна прямой, проходящей через середины отрезков AC и BC1.

б) Найдите косинус угла между прямыми AB1 и BC1.

Решение: а)

б) Достроим треугольник AB1B до параллелограмма AB1D1B, где сторона B1D1 лежит на прямой A1B1, а сторона BD1 параллельна прямой AB1. Так как прямые AB1  и BD1 параллельны, угол между прямыми AB1  и BC1 равен углу между прямыми BD1 и BC1

Рассмотрим треугольник B1C1D1. Угол C1B1D1 смежный для угла A1B1C1, который равен 60º как угол правильного треугольника, следовательно угол C1B1D1 = 180º - 60º = 120º. По условию: B1C1 = 1, B1D1 = AB = 1. По теореме косинусов получаем: 

Рассмотрим треугольник BC1D1. Боковые грани призмы являются квадратами со стороной равной 1, диагонали такого квадрата равны  , поэтому BC1 = AB1 = BD1 . По теореме косинусов получаем: 

15. Решите неравенство

 

Решение: