Задания 14. Углы и расстояния в пространстве

1-5   6-10   11-15   16-20   21-25   26-30   31-35   36-40

1. Дана правильная четырёхугольная пирамида MABCD, рёбра основания которой равны . Точка L - середина ребра MB. Тангенс угла между прямыми DM и AL равен .
а) Пусть O - центр основания пирамиды. Докажите, что прямые AO и LO перпендикулярны.
б) Найдите высоту данной пирамиды.

Решение: а) Так как O - центр основания пирамиды, а пирамида MABCD - правильная пирамида, то MO - высота пирамиды. Тогда .
Так как в основании пирамиды квадрат, а диагонали у квадрата между собой перпендикулярны .
Отсюда следует, что прямая AC перпендикулярна плоскости MBD.
Так как прямые AC и AO совпадают, то и прямая AO будет перпендикулярна плоскости MBD.

По определению, если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.
Прямая LO лежит в плоскости MBD.
Значит, прямые AO и LO перпендикулярны.

б) 

Ответ: 5

2. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все рёбра равны 1.

а) Докажите, что прямая AB1 параллельна прямой, проходящей через середины отрезков AC и BC1.

б) Найдите косинус угла между прямыми AB1 и BC1.

Решение: а)

б) Достроим треугольник AB1B до параллелограмма AB1D1B, где сторона B1D1 лежит на прямой A1B1, а сторона BD1 параллельна прямой AB1. Так как прямые AB1  и BD1 параллельны, угол между прямыми AB1  и BC1 равен углу между прямыми BD1 и BC1

Рассмотрим треугольник B1C1D1. Угол C1B1D1 смежный для угла A1B1C1, который равен 60º как угол правильного треугольника, следовательно угол C1B1D1 = 180º - 60º = 120º. По условию: B1C1 = 1, B1D1 = AB = 1. По теореме косинусов получаем: 

Рассмотрим треугольник BC1D1. Боковые грани призмы являются квадратами со стороной равной 1, диагонали такого квадрата равны  , поэтому BC1 = AB1 = BD1 . По теореме косинусов получаем: 

Ответ: 

3. В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S, все рёбра которой равны 4, точка N - середина ребра AC, точка O - центр основания пирамиды, точка P делит отрезок SO в отношении 3 : 1, считая от вершины пирамиды.
а) Докажите, что прямая NP перпендикулярна прямой BS.
б) Найдите расстояние от точки B до прямой NP.

Решение: а) Точка O принадлежит отрезку BN, значит точка P, лежащая на отрезке SO, находится в плоскости SBN. Поэтому прямая PN лежит в плоскости SBN и пересекает SB в точке K

Треугольник SNB равнобедренный, так как отрезки SN и BN - медианы одинаковых равносторонних треугольников SAC  и BAC. Поэтому SN = BN. В точке O пересекаются медианы основания, тогда, .

Опустим перпендикуляр из точки P на сторону SN. Пусть он пересекает SN в точке M. Треугольники SPM и SNO подобны, поэтому .

Значит, . Следовательно треугольники NPO и NPM равны и PN - биссектриса угла SNB. В равнобедренном треугольнике биссектриса является и медианой, и высотой. Значит, . Так как точка P лежит на прямой NK, тогда и прямая NP перпендикулярна прямой BS.

б) Так как, NK является и высотой, и медианой в равнобедренном треугольнике SNB, то расстояние от точки B до прямой PN равно .

Ответ: 2

4. В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S, все рёбра которой равны 2, точка M - середина ребра AB, точка O - центр основания пирамиды, точка F  - делит отрезок SO в отношении 3 : 1, считая от вершины пирамиды.
а) Докажите, что прямая MF перпендикулярна прямой SC.
б) Найдите угол между плоскостью MBF и плоскостью ABC.

Решение: а) Точка O принадлежит отрезку CM, значит точка F, лежащая на отрезке SO, находится в плоскости SCM. Поэтому прямая FM лежит в плоскости SCM и пересекает SC в точке K

Треугольник SMC равнобедренный, так как отрезки SM и CM - медианы одинаковых равносторонних треугольников SAB  и CAB. Поэтому SM = CM. В точке O пересекаются медианы основания, тогда, .

Опустим перпендикуляр из точки F на сторону SM. Пусть он пересекает SM в точке N. Треугольники SFN и SMO подобны, поэтому .

Значит, . Следовательно треугольники MFO и MFN равны и FM - биссектриса угла SMC. В равнобедренном треугольнике биссектриса является и медианой, и высотой. Значит, . Так как точка F лежит на прямой MK, тогда и прямая MF перпендикулярна прямой SC.

б) Построим угол между плоскостями MBF  и плоскостью ABC. Искомым углом будет .

Действительно, углом между плоскостями называется угол между перпендикулярами в этих плоскостях к общей прямой пресечения AB. OM является частью высоты CM, поэтому. OM - проекция FM на плоскость ABC, тогда по теореме о трёх перпендикулярах . Таким образом, FM и OM являются перпендикулярами в плоскостях MBF и ABC к общей стороне AB, значит - искомый.

Найдём высоту CM в треугольнике ABC:

Высоту SO найдём из треугольника COS

Так как, по условию SF : FO = 3 : 1, то

Из треугольника FOM найдём угол OMF

Ответ:

5. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF боковые рёбра равны 2, а стороны основания - 1,
а) Докажите, что плоскость, проходящая через вершину S  и середину рёбер AF  и CD перпендикулярна плоскости основания.
б) Найдите косинус угла между прямой AC и плоскостью SAF.

Решение: 

1-5   6-10   11-15   16-20   21-25   26-30   31-35   36-40