Вариант 6 (задание 13 - 15) ЕГЭ-2017 Математика

1 - 8       9 - 12       13 - 15     16     17     18     19

13. а) Решите уравнение .

       б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

Решение: 

14. В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S, все рёбра которой равны 4, точка N - середина ребра AC, точка O - центр основания пирамиды, точка P делит отрезок SO в отношении 3 : 1, считая от вершины пирамиды.
а) Докажите, что прямая NP перпендикулярна прямой BS.
б) Найдите расстояние от точки B до прямой NP.

Решение: а) Точка O принадлежит отрезку BN, значит точка P, лежащая на отрезке SO, находится в плоскости SBN. Поэтому прямая PN лежит в плоскости SBN и пересекает SB в точке K

Треугольник SNB равнобедренный, так как отрезки SN и BN - медианы одинаковых равносторонних треугольников SAC  и BAC. Поэтому SN = BN. В точке O пересекаются медианы основания, тогда, .

Опустим перпендикуляр из точки P на сторону SN. Пусть он пересекает SN в точке M. Треугольники SPM и SNO подобны, поэтому .

Значит, . Следовательно треугольники NPO и NPM равны и PN - биссектриса угла SNB. В равнобедренном треугольнике биссектриса является и медианой, и высотой. Значит, . Так как точка P лежит на прямой NK, тогда и прямая NP перпендикулярна прямой BS.

б) Так как, NK является и высотой, и медианой в равнобедренном треугольнике SNB, то расстояние от точки B до прямой PN равно .

Ответ: 2