Вариант 3 (задания 1 - 5) ЕГЭ-2016 Математика

1 - 5       6 - 8       9 - 12       13     14     15     16     17     18     19

1. Теплоход рассчитан на 650 пассажиров и 20 членов команды. Каждая спасательная шлюпка может вместить 70 человек. Какое наименьшее число шлюпок должно быть на теплоходе, чтобы в случае необходимости в них можно было разместить всех пассажиров и всех членов команды?

Решение: Всего на теплоходе 670 человек. Разделим 670 на 70:
670 : 70 = 9,57... ⇒ Значит, на теплоходе должно быть 10 шлюпок.

Ответ: 10

2. На рисунке жирными точками показана цена унции золота на момент закрытия биржевых торгов во все рабочие дни с 5 по 28 марта 1996 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали - цена унции золота в долларах США. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку наименьшую цену золота на момент закрытия торгов в указанный период (в долларах США за унцию).

Решение: По рисунку определяем, что наименьшая цена золота в указанный период составила 394 доллара США.

Ответ: 394

3. Найдите площадь трапеции, изображённой на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение: Чтобы найти площадь трапеции, дополним рисунок:
                   

Тогда: S(MCNK) = S(ABCD) - S(MBC) - S(KND) - S(AMK)  

                 

S(MCNK) = 56 - 24,5 - 4,5 - 2 = 25

Ответ: 25

4. В классе 21 шестиклассник, среди них два друга - Митя и Петя. Класс случайным образом делят на три группы, по 7 человек в каждой. Найдите вероятность того, что Митя и Петя окажутся в одной группе.

Решение: Вначале теория, решение ниже.

 
1) Вероятность события А - это отношение числа исходов, благоприятствующих его наступлению к числу всех исходов (несовместных, единственно возможных и равновозможных). Р(А)= m/n, где m -  число благоприятных исходов, а n - число всех исходов.
 
2) Несовместные события - события, которые не наступают в одном и том же испытании.
 
3) Суммой событий А и В называется событие С = А+В, состоящее в наступлении,  по крайней мере, одного из событий А или В.
 
4) Теорема: Вероятность суммы несовместных событий А и В равна сумме вероятностей этих событий Р(А+В) = Р(А)+Р(В).
 
5) Два события А и В называются независимыми, если вероятность появления каждого из них не зависит от того, проявилось другое событие или нет. в противном случае они зависимые.
 
6) Условная вероятность: Пусть А и В  - зависимые события. Условной вероятностью РА(В) события В называется вероятность события В, найденная в предположении, что событие А уже наступило. 
 
7) Теорема: Вероятность произведения двух зависимых событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, найденного в предположении, что первое событие уже наступило:  Р(А*В) = Р(А) * РА(В).
 
РЕШЕНИЕ
 
Нас устроит, если Митя и Петя окажутся в любой из трех групп.
 
Допустим, событие А - оба попали в 1-ю группу
 
                событие В - оба попали во 2-ю группу
 
                событие С - оба попали в 3-ю группу.
 
Эти события несовместны по определению №2 и любое из них нас устроит. Используем теорему №4 и найдем Р(А+В+С) = Р(А)+Р(В)+Р(С).
 
В свою очередь событие А состоит из двух зависимых событий:
 
А1 - что Митя окажется в 1-ой группе
 
А2 - что Петя окажется в 1-ой группе, ⇔ теорема №3: Р(А) = Р(А1)*РА1(А2).
 
По определению № 1 находим вероятность, что Митя попадет в 1-ю группу Р(А1): m=1, так как один благоприятный исход, а n=3, так как всего возможно три исхода. Поэтому  Р(А1) = 1/3.
 
Теперь найдем РА1(А2) то есть условную вероятность того, что Петя попадет в 1-ю группу при условии, что Митя в нее уже попал. 
 
Заметим, что число благоприятных условий равно 6, так как одно место в группе уже занято Митей (то есть нас устраивает, если Петя попадет в любое из шести свободных мест в группе и m=6), а общее число всех исходов = 20, так как Митя уже не участвует в выборке (то есть всего претендентов осталось 20 человек и n=20).
 
Поэтому РА1(А2) = 6/20 = 3/10
 
Таким образом Р(А) = 1/3 * 3/10 = 1/10.
 
Аналогично рассуждая, найдем Р(В) = 1/10 и Р(С) = 1/10.
 
Поэтому Р(А+В+С) = 1/10 + 1/10 + 1/10 = 3/10 = 0,3 (по теореме №4).

Ответ: 0,3

5. Найдите корень уравнения .

Решение:

Ответ: -25

1 - 5       6 - 8       9 - 12       13     14     15     16     17     18     19